6.1 线段树简介
线段树的定义如下：
一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该结点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]：
若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为 T的左儿子
[(a+b)div 2,b]为T的右儿子。
若L=1 ：T为一个叶子结点。 表示区间[1, 10]的线段树表示如下：
树一般有两种形式：1、以点为结点。2、以线段为结点。区别如图：上面一个以线段为结点，下面一个以点为结点： 
对线段树存在： 定理：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2logL条线段。
这个结论为线段树能在O(logL)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。
对线段树的可以进行扩展。1. 测度。结点所表示区间中线段覆盖过的长度，存储在各结点中。
2. 独立线段数。区间中互不相交的线段条数。
3. 权和。区间所有元线段的权和。
测度的递推公式如下：a[j] - a[i] 该结点 Count>0
M = 0 该结点为叶结点且 Count=0
Leftchild ↑ .M + Rightchild ↑ .M 该结点为内部结点且 Count=0连续段数
这里的连续段数指的是区间的并可以分解为多少个独立的区间。如 [1 ， 2] ∪[2，3]∪ [5 ， 6] 可以分解为两个区间[1 ， 3] 与 [5 ， 6] ，则连续段数为 2 。增加一个数据域 Lines_Tree.line 表示该结点的连续段数。 Line 的讨论比较复杂，内部结点不能简单地将左右孩子的 Line 相加。所以再增加 Lines_Tree.lbd 与 Lines_Tree.rbd 域。定义如下：
1 左端点 I 被描述区间盖到
lbd =
0 左端点 I 不被描述区间盖到
1 右端点 J 被描述区间盖到
rbd =
0 右端点 J 不被描述区间盖到
lbd 与 rbd 的实现：
1 该结点 count > 0
lbd = 0 该结点是叶结点且 count = 0
leftchild ↑ .lbd 该结点是内部结点且 Count=0
1 该结点 count > 0
rbd = 0 该结点是叶结点且 count = 0
rightchild ↑ .rbd 该结点是内部结点且 Count=0
有了 lbd 与 rbd ， Line 域就可以定义了：
1 该结点 count > 0
Line = 0 该结点是叶结点且 count =0
Leftchild ↑ .Line + Rightchild ↑.Line - 1 当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd = 1 且 Rightchild ↑ .lbd = 1
Leftchild ↑.Line + Rightchild ↑ .Line 当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd 与 Rightchild ↑ .lbd 不都为1
6.2 利用线段树实现区间的动态插入和删除
6.2.1 实例
PKU JudgeOnline, 1151, Atlantis.6.2.2 问题描述
在二维平面分部着一些矩形，矩形有可能重合。求矩形的总面积。
6.2.3 分析
这个题在《算法艺术与信息学竞赛》中第一章介绍数据结构时，讲到线段树的时候有解题分析。
用线段树来记载纵向上是不是被覆盖，用测度来表示区间中被覆盖了多少长度。
为了降低复杂度，可以将坐标离散化，如下图所示：
从左到右扫描长方形的左侧边和右侧边，如果是左侧边则加入线段树中，否则从线段书中删除。同时用横向扫描的距离乘以线段树的测度，就得到了扫描过了的被覆盖的面积。
本题和PKU JudgeOnline,1117, Picture题都对线段树进行了扩展。本题只用到了测度的扩展，而1117题还用到了独立线段数的扩展。
6.2.4 程序
//离散化+ 线段树+ 扫描线 //本题与JudgeOnline 1177 picture 极相似,现在回想起来甚至比1177 还要简单一些.与1177 不同的是本题中的坐标是浮点 //类型的故不能将坐标直接离散.我们必须为它们建立一个对应关系,用一个整数去对应一个浮点数 //这样的对应关系在本题的数组y[] 中 #include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> #include<iomanip> using namespace std; struct node{ int st, ed,c; //c : 区间被覆盖的层数,m: 区间的测度 double m; }ST[802]; struct line{ doublex,y1,y2; //纵方向直线, x:直线横坐标, y1 y2:直线上的下面与上面的两个纵坐标 bools; //s = 1: 直线为矩形的左边, s = 0:直线为矩形的右边 }Line[205]; double y[205],ty[205]; //y[] 整数与浮点数的对应数组;ty[]:用来求y[]的辅助数组 void build(int root, int st, int ed){ ST[root].st = st; ST[root].ed = ed; ST[root].c = 0; ST[root].m = 0; if(ed - st> 1){ int mid= (st+ed)/2; build(root*2, st, mid); build(root*2+1, mid, ed); } } inline void updata(int root){ if(ST[root].c> 0) //将线段树上区间的端点分别映射到y[]数组所对应的浮点数上,由此计算出测度 ST[root].m = y[ST[root].ed-1] -y[ST[root].st-1]; else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1) ST[root].m = 0; elseST[root].m = ST[root*2].m + ST[root*2+1].m; } void insert(int root, int st, int ed){ if(st <=ST[root].st && ST[root].ed <= ed){ ST[root].c++; updata(root); return; } if(ST[root].ed- ST[root].st == 1)return ;//不出错的话这句话就是冗余的 int mid =(ST[root].ed + ST[root].st)/2; if(st <mid) insert(root*2, st, ed); if(ed >mid) insert(root*2+1, st, ed); updata(root); } void Delete(int root, int st, int ed){ if(st <=ST[root].st && ST[root].ed <= ed){ ST[root].c--; updata(root); return; } if(ST[root].ed- ST[root].st == 1)return ; //不出错的话这句话就是冗余的 int mid =(ST[root].st + ST[root].ed)/2; if(st <mid) Delete(root*2, st, ed); if(ed >mid) Delete(root*2+1, st, ed); updata(root); } int Correspond(int n, double t){ //二分查找出浮点数t 在数组y[]中的位置(此即所谓的映射关系) intlow,high,mid; low = 0; high = n-1; while(low< high){ mid = (low+high)/2; if(t> y[mid]) low = mid + 1; elsehigh = mid; } returnhigh+1; } bool cmp(line l1, line l2){ return l1.x< l2.x; } int main() { intn,i,num,l,r,c=0; doublearea,x1,x2,y1,y2; while(cin>>n,n){ for(i =0; i < n; i++){ cin>>x1>>y1>>x2>>y2; Line[2*i].x = x1; Line[2*i].y1 =y1; Line[2*i].y2 = y2; Line[2*i].s = 1; Line[2*i+1].x = x2; Line[2*i+1].y1= y1; Line[2*i+1].y2 = y2; Line[2*i+1].s = 0; ty[2*i] = y1; ty[2*i+1] = y2; } n <<= 1; sort(Line, Line+n, cmp); sort(ty, ty+n); y[0] = ty[0]; //处理数组ty[]使之不含重覆元素,得到新的数组存放到数组y[]中 for(i=num=1;i < n; i++) if(ty[i]!= ty[i-1]) y[num++] = ty[i]; build(1, 1, num); //树的叶子结点与数组y[]中的元素个数相同,以便建立一一对应的关系 area = 0; for(i =0; i < n-1; i++){ //由对应关系计算出线段两端在树中的位置 l = Correspond(num, Line[i].y1); r = Correspond(num, Line[i].y2); if(Line[i].s)//插入矩形的左边 insert(1, l, r); else //删除矩形的右边 Delete(1, l, r); area += ST[1].m * (Line[i+1].x -Line[i].x); } cout<<"Testcase #"<<++c<<endl<<"Totalexplored area: "; cout<<fixed<<setprecision(2)<<area<<endl<<endl; } return 0; }6.3 计算数组区间第K大的数
PKU JudgeOnline, 2761, Feed the dogs则是线段树的另外一个应用：实用线段树来计算数组区间[i, j]中元素第k小（或第K大）的数。只要添写一个函数，根据线段树中每个结点的覆盖树木来判断第k大的树是哪一个。
当初始化，或者区间[i, j]发生变化时，需要对线段树进行添加或者删除操作。每当增加（或删除）一个大小为X的点时，就在树上添加（或删除）一条(X,MaxLen)的线段（不含端点），当要查询一个点的排名时，只要看看其上有多少条线段就可以了。
int query(int root, intcount) { if(count<= ST[root].c){ returnST[root].st; }else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1){ returnST[root].ed; } count -= ST[root].c; if(count<= ST[root*2+1].c){ returnquery(root*2, count); }else{ returnquery(root*2+1, count); } } 1.4 实例PKU JudgeOnline, 1151, Atlantis.
PKU JudgeOnline, 1117, Picture.
PKU JudgeOnline, 2761, Feed the dogs.
PKU JudgeOnline, 2528, Mayor'sposters.
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